同一批向量，改一下检索指标，第一名就可能变了。原因未必是索引坏了：内积同时受方向和长度影响，余弦相似度把长度除掉。只有明确归一化条件，才能说它们等价。

这是RAG 混合检索之前的一项基础配置检查。English version

一个二维例子就能看出区别

设查询 q=(1,0)，候选 A=(1,0)，B=(80,60)。它们是人为构造的教学向量，没有对应真实文本。A与查询完全同向；B的长度为100，方向则偏离查询。

内积 q·A=1，q·B=80，所以按内积降序时B在前。余弦为 cos(q,d)=(q·d)/(‖q‖‖d‖)：A得到1，B得到0.8，顺序变成A在前。这个例子只说明两个目标不同，不能证明哪个更适合实际语义检索。

归一化后怎样联系起来

对非零向量，定义 x̂=x/‖x‖。把两个向量都变成单位长度以后，x̂·ŷ就是原向量的余弦相似度。Faiss官方文档给出的余弦检索方法，是归一化入库向量和查询向量，再做最大内积搜索。

这里还有一个容易忽略的细节：针对固定的非零查询，仅改变查询长度不会改变原始内积排序，因为所有分数乘了同一个正数。但它会改变分数值和阈值含义。候选长度各不相同，不能用同样理由忽略它们；如果要让返回数值也是余弦，就应两端一致归一化。

L2距离的等价也有前提

展开平方距离可得 ‖x−y‖²=‖x‖²+‖y‖²−2x·y。只有两端都是单位向量时，才化成 2−2x·y。因此，在单位向量上最大内积与最小平方L2的精确排序一致；对未归一化向量，不能直接套用这个结论。

Faiss的L2返回平方欧氏距离。排序时开不开平方不改变先后，但把返回值用于距离阈值或展示时，要确认自己用的是哪一个量。

不用模型也能复算

以下标准库Python示例已经执行，验证了排序变化、单位向量恒等式和零向量处理。没有调用嵌入模型，也没有运行Faiss索引，不能把它称为真实召回测试。

from math import sqrt, isclose

def dot(a, b):
    if len(a) != len(b):
        raise ValueError('dimension mismatch')
    return sum(x*y for x,y in zip(a,b))

def unit(v):
    norm = sqrt(dot(v,v))
    if norm == 0:
        raise ValueError('zero vector has no cosine direction')
    return [x/norm for x in v]

q = [1., 0.]
docs = {'A': [1., 0.], 'B': [80., 60.]}
raw = {k: dot(q,v) for k,v in docs.items()}
cos = {k: dot(unit(q),unit(v)) for k,v in docs.items()}
assert raw == {'A': 1., 'B': 80.}
assert isclose(cos['A'], 1.) and isclose(cos['B'], .8)
for v in docs.values():
    x,y = unit(q),unit(v)
    squared_l2 = sum((a-b)**2 for a,b in zip(x,y))
    assert isclose(squared_l2, 2-2*dot(x,y), abs_tol=1e-12)
try:
    unit([0.,0.])
except ValueError:
    pass
else:
    raise AssertionError('zero vector must be rejected')
print('inner product:', raw)
print('cosine:', cos)
print('normalized squared L2:', {k:2-2*s for k,s in cos.items()})

内积输出A=1、B=80；余弦输出A=1、B=0.8；单位向量平方L2约为0与0.4。末尾的浮点数0.3999999999999999是表示误差，因此恒等式用容差比较。零向量没有可定义的余弦方向，代码显式拒绝；真实系统也应确定异常策略。

改指标之前先查三件事

第一，查嵌入模型要求什么打分方式，输出是否已经归一化。向量长度可能包含模型设计中的信号，归一化并不是对所有模型都合适的无损处理。

第二，查入库和查询是否使用相同版本、维度和预处理。只把新查询归一化，却保留旧的非单位文档向量，并不会得到一般的余弦分数。需要变更时，应同步考虑已有索引与线上阈值。

第三，用精确计算建立一小份基准，再比较实际近似索引。数学上的排序等价，不保证不同近似搜索配置、量化误差与并列值处理返回完全相同的列表。把分数含义和搜索误差分开检查，才能判断是配置问题还是近似召回损失。

参考资料

Faiss: MetricType and distances（2024-12-03）

补发说明：本文于北京时间2026年10月9日补发，文章日期保留原计划09:00。示例为原创数学验证，不包含模型性能结论。